\(y'=3x^2-2\left(2m-1\right)x+2-m\)

Hàm có các cực trị dương khi pt \(y'=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(2m-1\right)^2-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(2m-1\right)}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2-m-5>0\\m>\dfrac{1}{2}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{4}< m< 2\)

\(y'=3\left(m-1\right)x^2-6x-\left(m+1\right)\)

Hàm có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(m-1\right)\ne0\\\Delta'=9+3\left(m-1\right)\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m^2>-2\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m\ne1\)

\(y'=3x^2-6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_{CĐ}=y\left(0\right)=m\)

\(y_{CT}=y\left(2\right)=m-4\)

\(y_{CĐ}\) và \(y_{CT}\) trái dấu khi và chỉ khi:

\(m\left(m-4\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 4\)

Lời giải:

$y'=x^2-(m-1)x-m=(x+1)(x-m)$

$y''=2x-(m-1)$

Nếu $x_{ct}=-1$ thì $y''(-1)=-1-m>0\Leftrightarrow m< -1$

$y_{ct}=\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{3}$ (loại vì $m< -1$)

Nếu $x_{ct}=m$ thì $y''(m)=m+1>0\Leftrightarrow m>-1$

$y_{ct}=\frac{-1}{6}m^3+\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow m=0$ (chọn) hoặc $m=-3$ (loại)

Vậy $m=0$